quarta-feira, 21 de maio de 2008

Matematica do Filme Quebrando a Banca


Assistindo ao filme quebrando a Banca", vi um probleminha de matemática muito legal para usar em rodinhas de amigos. Vejam se entendem:

Você é um participante de um programa de auditório, e o apresentador mostra a você três portas fechadas. Ele diz que atrás de uma das portas está um carro, e atrás das outras duas há apenas cabras. Se você escolher a porta certa, ganha o carro – caso contrário levará apenas uma cabra.


Você escolhe uma das portas. O apresentador, então, sem abrir a porta que você escolheu, dirige-se para uma das outras duas portas que sobraram. Como ele sabe em qual das três portas está o carro, ele então abre uma das duas portas que você não tinha escolhido – exatamente uma porta que escondia uma cabra. Restaram então apenas duas portas fechadas: aquela que você tinha escolhido, e uma outra que não foi aberta pelo apresentador. Atrás de uma delas está o carro.

O apresentador então pergunta se você quer manter a escolha original ou se quer, agora, trocar de porta, escolhendo a outra que ele não abriu e que pode conter o carro.

O que você deve fazer:
1 – Manter a escolha original, ou
2 – Trocar de porta ?

(...)

Você deve, sim, trocar de porta. Abandone sua escolha original e fique com a outra porta que sobrou. Se fizer isso, sua chance de ganhar o carro será de 67%. Se mantiver a escolha original, sua chance será de apenas 33%.

Se você não trocar de porta, sua chance de ganhar o carro é de 33% (1/3). Isto é facilmente compreensível, uma vez que há três portas a escolher no início da brincadeira, e a chance é a mesma do carro estar atrás de qualquer uma delas. Como você é teimoso e não trocou de porta, só vai ganhar o carro se ele estiver atrás da porta que escolheu no inicio.
Ou seja, se não trocar de porta terá 1 chance em 3 (1/3 = 33%) de ganhar o carro.

O apresentador abriu uma porta onde tinha uma cabra, logo o carro só pode estar ou na porta que você escolheu no início ou na outra porta que ainda está fechada. Portanto, se você trocar de porta, só vai perder se, por azar, o carro estiver exatamente na porta que escolheu no início, certo? Isto quer dizer que terá uma chance de 1/3 (33%) de perder. Mas então a chance de ganhar é de 67% (uma vez que a chance de ganhar somada com a chance de perder deve dar 100%).
Se trocar de porta, terá duas chances em 3 (2/3 = 67%) de ganhar o carro.

Se pudesse escolher duas portas ao invés de uma só, sua chance de ganhar o carro seria, obviamente, de 2/3 (67%).
E foi exatamente essa oportunidade que o apresentador lhe deu, quando abriu uma das duas portas que restaram!

Se pudesse optar entre escolher apenas a porta A ou ficar com ambas as portas B e C, é claro que ficando com B e C você teria 2/3 de chances de ganhar. Mas, trocando de porta, é exatamente isso que acontece, uma vez que o apresentador, gentilmente, abriu uma das duas portas e você viu que lá só tinha uma cabra. Trocar de porta é o mesmo que poder escolher duas portas de uma só vez, e, como não sabe onde o carro está, isso vai te dar uma chance de 2/3 de ganhar!

O carro foi colocado atrás de uma das três portas antes que o apresentador mostrasse uma cabra atrás de uma delas. Portanto, a posição do carro estava definida desde o início. O apresentador, num vacilo, ao contar para você que tinha uma cabra exatamente ali, te deu a chance de ficar com duas portas de uma vez ao invés de uma porta só – o que aumenta sua chance para 2/3 se mudar a sua escolha original.

Probleminha fácil, mas nossa cabecinha sempre dificulta as coisas!

Fonte: Aqui!

Sobre o autor: Twitter | Facebook | Google+ | João Homem é autor do Blog Dinheirologia, empreendedor, investidor e geek. Especialista em empreendedorismo, proprietário da Homem Holding, consultor, aventureiro e apaixonado por economia e filosofia.

23 comentários:

André Tavares disse...

É claro que não tem nenhum sentido essa afirmação de que trocando de porta você está passando a ter 67% de chance. Está se usando uma probabilidade ex-ante para se analisar um evento atual. É muito simples: Ao ser revelada uma porta que continha uma cabra, este fato passa a ser irrelevante. O que passa a ter importância agora é que você tem duas portas em que em apenas uma está o carro. Dessa forma, você passa a ter 50% de chance. É pedir cara ou coroa. Ou seja: continua o elemento sorte entrando em cena e realmente sua chance de ganhar aumentou. Contudo, aumentou de 33% para 50% e não para 67%, já que não se pode usar uma probabilidade anterior para analisar um evento presente com características diferentes.

Mobral disse...

Gerico,
para de escrever asneiras,
a partir do momento q tem a opção de uma nova escolha, com 2 portas, é 50% pra cada uma.

João Homem on 11 de janeiro de 2010 18:42 disse...

Vim olhar o comentário do Mobral e vi que havia outro do André.
Realmente é difícil explicar essa matemática (Problema de Monty Hall) pois a resposta do problema é contra-intuitiva.
Não sou matemático, mas entendi muito bem a explicação e sinceramente se fosse eu, trocaria de porta.
Se vocês não concordam, tudo bem. Sugiro apenas que entendam que hé fundamento matemático na resolução do problema.
Pesquisem na web e vejam se encontram melhores explicações.
Abraço!

Anônimo disse...

Ele esta certo, pode pesquisar em outros sites.
A chance de você ganhar trocando de porta é maior do que se continuasse com a mesma

Anônimo disse...

Ele esta certo. O que acontece e que no inicio, com tres portas, vc tinha 33% de chances da sua porta estar certa e 66% de uma das outras duas estarem certas. Quando o apresentador abre a porta, as estatisticas nao mudam, vc continua com 33% de chances de acertar. As outras duas portas continuam representando 66% de chamces de estarem certas, pprtanto, trocando a sua escolha vc fica com as chances de acertar de 66% pq e como se vc escolhece as outras duas portas, juntas, mas uma ja ta aberta.
Lembrem-se apenas de que a chance de se acertar trocando sua escolha e maior, porem nao e de 100%.

Anônimo disse...

Esse André Tavares e o Mobral( não é a toa) não tem o mínimo de raciocínio mesmo.
A chance de errar na primeira é o dobro do que acertar. Por isso é melhor trocar.

Tricolor é Brasil! on 25 de junho de 2011 16:50 disse...

Cara, eu entendi que a soma das 2 portas (a aberta e a segunda porta, não aberta) seria de 66,6%. Mas se vc somar a sua porta escolhida anteriormente e a porta aberta, a probabilidade não seria exatamente a mesma? 50% seria simplificar, mas eu entendo que os 66,6% são iguais escolhendo a primeira ou a segunda porta, somados a alguma das 2 a porta que foi exposta.

Anônimo disse...

vou mudar um pouco o problema:
num primeiro momento vc escolhe uma das portas.
Apos abrir uma errada vc TEM QUE escolher entre as outras duas...
burrice quem acha que a chenace de uma porta é maior do que a de outra hahahahha...
vão estudar... o filme ta errado e não é preciso ser muito inteligente para se entender isso.,

Anônimo disse...

Isso é um joguinho de argumentação fraco! Bem fraco!
Quem acredita que tem mais chances se trocar de porta está caindo em uma pegadinha... O total de chances tem que ser a probabilidade de errar mais a probabilidade de acertar... Mas ao abrir uma porta as probabilidades se alteram (obvio) tem um novo dado.
As probabilidades se alteraram. Você sabe que o carro não está na porta C, logo, está na A ou B. 1 chance em 2...
Se alguém aceitar que 1/2 é igual 66,6 ou 33,3...rsrsrs fique a vontade

Kalú on 19 de outubro de 2011 19:06 disse...

Mano como tem gente que não consegue entender a matemática. É simples, quando você assume que vai trocar todas as vezes, você está apostando que na primeira escolha você acertou uma cabra e essa primeira escolha, de ser uma cabra, tem 66,67% de chance de estar certa. Então trocando sempre, toda vez que você escolher uma porta com uma cabra você ganha, 2/3 das vezes.

George Frederick on 8 de março de 2012 20:16 disse...

Para explicar aos que se acham inteligente e foram contrários aos argumentos muito bem explicados no texto acima. Imagine que em vez de 3 portas você tenha 1000 portas. Na sua primeira escolha suas chances são de 1/1000, certo? Se eu abro 98 portas, deixando fechada somente a que você escolheu e mais uma, o que você faria agora? Trocaria ou não trocaria de porta? Eu trocaria e ganharia!

Anônimo disse...

Pode ter certeza que é 66,6%,não é algo muito claro,mas faça os 3 tipos de combinação num papel,coloque c para cabra e k para carro,uma tabela 3x3 ,depois selecione uma as combinações da fileira do meio por exemplo nas três,e abra uma que vocÊ saiba que tenha cabra,observe que as chances se vocÊ trocar são duas para uma de perder,assim fica fácil de entender.faça uma tabela e visualize o problema,como se você soubesse qual tinha o k,e suas 3 possibilidades de lugar
.abração

Anônimo disse...

fácil, 50%.
no filme eles explicam que por exemplo:
nas 3 portas, A,B,C. sendo que na B está o carro.
escolhendo a alternativa:
A - aberta C = troco por B = ganho
B - aberta C/A = t/por A/C = perco
C - aberta A = troco por b = ganho
ai explicam que ficaria em 2/3 de chance ou 66,7%

mas na realidade as alternativas que poderiam ser realizadas nao se resumem somente a estas, já que não sabemos em qual porta está o carro, o certo seria:
escolhendo a alternativa
A- aberta C - troco por B = ganho
B- aberta C = troco por a = perco
C- aberta A = troco por b = ganho
B- aberta A = troco por c = perco

OU SEJA 50%!!!! já que não sabemos aonde está o carro, nossas alternativas não são as mesmas do apresentador, já que para ele A ou C se tornam iguais pois o mesmo sabe! mas pra nós não! o filme está errado.

Ed on 28 de maio de 2012 13:20 disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Ed on 28 de maio de 2012 13:23 disse...

Oi meu nome é Ed, vou comentar um pouco sobre esse problema que é meio simples mas confunde muito e dá para ver isso claramente pois muita gente que entendeu se confunde mais ainda para explicar.

Você tem que pensar nas probabilidades de encontrar o carro (33%) e de encontrar a cabra (67%) na sua primeira escolha. O apresentador abre uma nova porta para você e pergunta se você quiser trocar. O caso é que você tinha 33% chances de ter escolhido uma certa, trocar e perder e 67% de chances de ter escolhido uma errada, trocar e ganhar.

Aí é que tá. Você tem 67% de chances de ganhar se trocar por que você tinha 67% de chances de errar, trocando a porta você deixaria de errar para acertar.

Anônimo disse...

bem,eu gostaria de lembrar-nos que em vez de 67?% e 33%,é 66.66% e 33.33% jé que não se pode enganar a matematica com a aproximação,e como ele disse no filme isso é matematica simples.

cris on 3 de junho de 2013 18:49 disse...

3 portas: A,B,C
Inicialmente escolhe porta: "A"
P(A)=0,33
P(B)=0,33
P(C)=0,33

Apresentador abre uma porta, saindo uma cabra
O carro é só um, a probabilidade de estar apenas na porta A:

P(A / C(negado))= P(A ∩ C(negado))/P(C(negado))

A, B, C independentes.

P(A/C(negado))= (0,33 * 0,67)/0,67=0,33
Probabilidade de sair A, sabendo que nao esta em C e 0,33

Douglas on 21 de julho de 2013 15:04 disse...

Vou mostrar de uma outra forma. Imagine que o prêmio seja uma casa e as portas ruins sejam um tomate e um repolho. Serão 4 possibilidades diferentes:

Eu escolho CASA - o apresentador abre TOMATE - se eu trocar eu PERCO.

Eu escolho CASA - o apresentador abre REPOLHO - se eu trocar eu PERCO.

Eu escolho TOMATE - o apresentador abre REPOLHO - se eu trocar eu GANHO.

Eu escolho REPOLHO - o apresentador abre TOMATE - se eu trocar eu GANHO.

Se eu trocar de porta, em duas ocasiões eu ganharia e em duas eu perderia. A ilusão se dá quando o apresentador abre uma porta que tem uma cabra, pois é preciso identificar se é a 1ª ou a 2ª cabra, afinal, são dois eventos diferentes.

Um outro exemplo para mostrar este tipo de ilusão:

Considerando os três grupos abaixo, é mais fácil sair uma carta vermelha ou preta do baralho?

Grupo 1Naipes vermelhos.
Grupo 2Naipes de Espadas.
Grupo 3Naipes de Paus.

Num primeiro momento temos a sensação que é mais fácil sair uma carta preta do baralho, pois são dois grupos que representam as cartas pretas contra uma que representa as cartas vermelhas.

Mas na verdade o primeiro grupo possui o dobro de cartas do segundo e do terceiro grupo. A probabilidade correta seria:

Grupo 1 50% (26 cartas)
Grupo 2 25% (13 cartas)
Grupo 3 25% (13 cartas)

Concluindo, as chances de sair uma carta vermelha são de 50% e das cartas pretas também são 50%.

Na minha opinião, o que pode fazer diferença é o comportamento do apresentador, saber qual porta ele costuma abrir, se ele abriu ou não aquela porta primeiro, a forma como ele fala com o participante e assim por diante.

Anônimo disse...

A questão é que não existem 4 possibilidades, apenas 3, pois não importa a porta que o apresentador vai abrir (ele sempre vai abrir uma que tenha uma cabra), mas sim a porta que eu escolhi e se eu vou trocar ou não.

Assim, decidindo por trocar:

- Se eu escolhi a porta com o carro e depois trocar, eu perco.

- Se eu escolhi a porta com a cabra A e depois trocar, eu ganho.

- Se eu escolhi a porta com a cabra B e depois trocar, eu ganho.

Ou seja: eu tenho 2/3 (66,66%) de probabilidade de ganhar.

Matheus Falcão on 7 de outubro de 2013 02:53 disse...

Só lembrando que a cabra B ja foi mostrada na porta que o apresentador abriu.. Eu não poderia trocar por ela, a menos que se queira uma cabra.

Anônimo disse...

Isso explica tudo...é só ver o quadro e aceitar que as chances são maiores se trocar!!!
http://blogdoportinho.wordpress.com/2011/12/08/enigma-matematico-a-porta-dos-desesperados/

bobdog on 8 de dezembro de 2013 21:50 disse...

Ola Pessoal, entendo o seguinte, quando falamos em probabilidade de dados não viciado, ou seja, o apresentador não está blefando para que te force a trocar de porta, temos os cálculos estatísticos de 66,6%, porem como temos um fator (apresentador) que pode estar blefando, fazendo com que você troque de porta, pois o carro pode estar na que você escolheu, suas chances voltam para 50%, que é outro problema, o apresentador está blefando ou não.

NeonNegro on 3 de abril de 2014 10:48 disse...

Argumentaram que trocando de porta, você teria 67% ao ser o equivalente a escolher duas portas (a que não foi escolhida e a que o apresentador mostrou ser a errada).
Todavia daí eu pergunto: por esse raciocínio eu não continuaria com 67% mantendo a porta original, uma vez que continuo tendo duas portas (a escolhida e a provada estar errada)?

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